Гипербола

Геометрическое место точек плоскости,  разность расстояний от которых до двух заданных точек F₁, F₂ есть величина постоянная, называется гиперболой. Точки F₁, F₂ называются фокуса­ми гиперболы (рис. 1).

Таким образом, для точек А гиперболы с фокусами F₁, F₂ выполняет­ся одно из равенств: AF₁ - AF₂ = c, AF₂ – AF₁ = c, где c - некоторый заданный отрезок.

Гипербола состоит из двух ветвей, для точек которых выполняется соответственно первое или второе равенс­тво.

Из неравенства треугольника следует, что отрезок c должен быть меньше отрезка F₁F₂.

Для того чтобы нарисовать гиперболу, потребуется линейка, нить, длина которой меньше длины линейки, а разность длин линейки и нити бы­ла бы меньше, чем расстояние между фокусами. Прикрепим один конец нити к концу линейки, а второй конец к фокусу. Второй конец линейки совмес­тим со вторым фокусом. Натянем нить, прижав ее к линейке острием ка­рандаша (рис. 2). Если поворачивать линейку вокруг фокуса, прижимая к ней карандаш и оставляя нить натянутой, то карандаш будет описывать гиперболу.

Рассмотрим ветвь гиперболы, точки которой удовлетворяют равенству AF₁ - AF₂ = c. Она разбивает плоскость на две области – внешнюю, для точек A' которой выполняется неравенство A'F₁ – A'F₂ < c, и внутреннюю, для точек A" которой выполняется неравенство A'F₁ – A'F₂ > c.

Прямая, проходящая через точку А гиперболы, остальные точки A' которой лежат во внешней области, т. е. удовлетворяют неравенству A'F₁ – A'F₂ < c, называется касательной к ги­перболе. Точка А называется точкой касания.

Аналогичным образом определяется касательная для точки, лежащей на другой ветви гиперболы.

Теорема. Пусть А - точка гиперболы с фокусами F₁, F₂. Тогда касательной к гиперболе, проходящей через точку A, является прямая, содержащая биссектрису угла F₁AF₂.

Доказательство. Докажем, что прямая a, содержащая биссектрису угла F₁AF₂ будет касательной к гипербо­ле (рис. 3). Рассмотрим точку F' на прямой F₁A, для которой АF' = АF₂. Тогда прямая a будет серединным перпендикуляром к отрезку F₂F'. Для произ­вольной точки A' прямой a, отличной от А, имеем

A'F₂ = A'F' и A'F₁ – A'F₂ = A'F₁ – A'F' < F₁F' = AF₁ – AF₂ = c.

Следовательно, прямая a является касательной.

Фокальное свойство гиперболы. Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразив­шись от нее, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Пусть A – точка падения луча, исходящего из фокуса F₁ гиперболы, a – касательная (рис. 3). Тогда углы 1 и 2 равны, так как касательная a содержит биссектрису угла F₁AF₂. Углы 2 и 3 равны, как вертикальные. Следовательно, углы 1 и 3 равны. Поскольку угол падения луча света в точке A равен углу 3, то угол отражения будет равен углу 1, т.е. луч света после отражения в точке A пойдет в направлении AF₂.

Построение касательной к гиперболе. Пусть гипербола задана своими фокусами F₁, F₂ и постоянной c. Используя циркуль и линейку, построим касательную к гиперболе, проходящую через данную точку C.

С центром в точке C и радиусом CF₂ проведем окружность. С центром в точке F₁ и радиусом c проведем другую окружность и найдем ее точки пересечения с первой окружностью (рис. 4). Таких точек может быть две F', F", одна или ни одной в зависимости от расположения точки C. В первом случае проведем биссектрисы углов F'СF₂, F"СF₂. Соответствующие прямые a', a" являются серединными перпендикулярами к отрезкам F'F₂, F"F₂ и, значит, будут искомыми касательными к эллипсу. Для построения точек касания проведем прямые F₁F', F₁F" и найдем их точки пересечения A', A" с касательными a', a" соответственно. Они и будут искомыми.

Во втором случае, когда проведенные окружности имеют одну общую точку (касаются), мы будем иметь одну касательную. Если же окружности не имеют общих точек, то касательных нет.

Лабораторная работа. Укажем способ получения гиперболы из листа бумаги. Вырежем из листа бумаги круг и отметим точку F на оставшейся части листа. Сложим лист так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F' окружности вырезанного круга и на бумаге образо­валась линия сгиба. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точ­ку с другой точкой окружности. Сделаем так несколько раз. Линии сгибов будут касательными к гиперболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму гиперболы.

Задачи

1. Изготовьте прибор для построения гиперболы. Нарисуйте гипербо­лу с заданными фокусами F₁, F₂. Сколько таких гипербол?

2. Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами и разностью радиусов.

3. С помощью циркуля постройте несколько точек гиперболы с задан­ными фокусами и разностью расстояний до них.

4. Найдите геометрическое место точек, для которых разность расс­тояний до двух заданных точек F₁, F₂: а) меньше заданной величины c; б) больше заданной величины c.

5. Расстояние между фокусами гиперболы равно 6 см, константа c равна 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек гиперболы до фокусов? Укажите соответствующие точки на гиперболе.

6. Что будет происходить с гиперболой, если фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга?

7. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух заданных окружностей. Рассмотрите различные случаи касания окруж­ностей.

8. Через точку гиперболы с заданными фокусами проведите касатель­ную к гиперболе.

9. Для гиперболы с заданными фокусами F₁, F₂ и разностью расстоя­ний до них с найдите точки, касательные в которых перпендикулярны пря­мой F₁F₂.

10. Через точку вне гиперболы с заданными фокусами и разностью расстояний до них проведите касательную к этой гиперболе.

11. Докажите, что эллипс и гипербола с общими фокусами в точках пересечения имеют перпендикулярные касательные.

12. Даны фокусы F₁, F₂ гиперболы и разность расстояний до них с. Докажите, что для произвольной точки С на окружности с центром в F₁ и радиусом с серединный перпендикуляр к отрезку F₂C будет касательной к гиперболе, если он пересекается с прямой F₂C. Найдите точку касания.

13. Даны два фокуса и касательная к гиперболе. Постройте постоянную c и нарисуйте гиперболу.

14. Даны две касательные, фокус и постоянная c. Постройте второй фокус гиперболы.

15. Даны фокусы F₁ и F₂ гиперболы. Световой луч исходит из фокуса F₁ и отражается от гиперболы в точке A. Постройте отраженный луч.